선형대수학 2강 - Basic tool

선형 대수학 2강은 간단한 도구들의 설명을 할거다.

참고로 대부분의 용어는 영어를 사용할 생각이다.

왜냐?

번역된 말들이 오히려 개념 설명에 혼동을 줄 수도 있기 때문이다.

예를 들어볼까? 부동소수점 이랑 부동점이랑 뭐가 다른걸까?

둘다 안움직이는 점 아니냐고?

그럼 Floating point 랑 Invariant point라고 하면 어떨까?

느낌이 오는가?

하나는 둥둥 떠다니는 점이고, 다른 하나는 고정된 점이다.

같은 말같이 보여도 다르다.

뭐 잡설은 이정도로만 하자. 우리는 갈길이 머니까.

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1.  Vector.

우리가 가장 먼저 다룰 것은 Vector다.

벡터란 무엇일까?

이렇게 생긴것들?

맞다. 다만 우리는 조금 구분할 필요가 있다,

첫번째 표기는 tuple이라는 배열로 구성된 표기,

두번째 표기는 row(행) vector로 표기,

세번째는 column vector(열) vector로 표기한 것이다.

뭐가 다르냐고? 다른거 없다. 아직까진 그저 벡터일 뿐이다.

결국 벡터란 것은 "방향과 크기를 표현한 것"일 뿐이다.

2. Matrix(행렬)

행렬이란 무엇일까?

간단하게 설명하면 위에서 이야기한 vector들을 담고 있는 컨테이너일 뿐이다.

그리고 각각의 숫자들이나, 기호들을 우리는 element(원소)라고 한다.

그럼 Aij라고 하는 것도 자명해진다.

그저 i번째 행, j번째 열에 있는 하나의 원소일 뿐이다.

행렬이 재밌는 이유는 무엇인지 아는가?

그 이유는 행렬의 여러 성질에 있다.

행렬은 1) 행렬끼리 덧셈이 가능하고 2) 스칼라 곱셈이 가능하며 2) 행렬 곱셈이 가능하다. 

뭔소리냐고? 

1) 우리가 NxM 행렬 2개(A,B)가 있다고 가정하면, A+B = ( Aij + Bij ) 의 NxM 으로 나타낼 수 있다.

1) 스칼라 곱이라는건 모든 행렬 안의 원소들의 값을 그저 스칼라 값만큼 곱해줄 수 있다는 것이고

2) 곱이 가능하단 말은 A와 B란 행렬이 있을때 이를 곱할 수 있다는 말이다.

 

1), 2)은 이해가 갈텐데

3)는 이해가 안갈지도 모른다.

조금 더 천천히 나가보자.

위 그림처럼 3x3 행렬 A와 3x2행렬 B가 있다.

그러면 우리는 ABik의 원소들을 Aij x Bjk로 나타낼 수 있다.

다시 차근차근 해보자.

그럼 AxB를 구해보자.

A는 a1,a2,a3라는 row vector를 가진 컨테이너, 

그리고 B는 b1,b2란 행을 가진 column vector라고 생각해보자.

행렬의 곱은 말 대로 "행 X 열" 이다.

여기서 정말 신기한건 행과 열을 곱하니 어라? 벡터가 아니라 그냥 하나의 값(스칼라)가 나온다.

재밌는 성질이지 않는가?

나중에 다루겠지만, 이것 때문에 여럭 가지를 이야기 할 수 있다.

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좋다. 여기까지 오면 이제 절반은 한거다.

이제 System of Linear Equation(선형 방정식의 시스템)에 대해 알아보자.

위 그림과 같은 식 3개(정확히는 방정식이겠지.)가 있다고 생각해보자.

우리는 u,v,w를 구하기 위해 어떻게 할 것인가?

뭐 고등 수학을 배운 사람이라면 당연히 

식을 요리조리 변형해서 w를 구하고, v를 구한 다음, 마지막으로 u를 구할 것이다.

(물론 순서는 상관 없다. u,v,w 순으로 구해도 아무런 상관 없다.)

어라? 어디선가 본 모양 아닌가?

이거랑 같은거 아닌가?

그렇다. 우리는 방금 방정식을 행렬로 표현해냈다

 

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조금 더 깊이 파고들어 볼까?

우리가 주목할 point는 3개다.

1) 아까 우리가 말한 시스템의 해를 찾는 것.

2) 우리가 아까 한거같이 소거를 하는 과정이 기하학적으론 어떤 의미인가?

3) Vector의 표현은 어떻게 할것인가?

(지금은 그냥 이런게 있구나 하고 넘어가길 바란다.)

우리는 해가 없거나 무한히 많은 해를 가질 경우 singular case라고 하고

해가 하나로 정해진다면 non-singular하다고 한다.

우리가 아까 나타낸 방정식은 잘~생각해보면( 고등 수학을 배웠다는 가정 하)

평면의 방정식이지 않는가? 곧 평면을 나타내기도 한다.

이때 평면끼리 평행하게 있으면 당연히 접하지 않고, 해가 없을 것이다.

반대로 평면이 직선으로, 또는 평면으로 교차하면 해가 무수히 많을 것이다.

그렇다면 우리가 "elemination(소거법)"을 통해 식을 소거해 해를 구하는 과정은 기하학적으로 어떤 의미란 말이냐?

간단하다.

우리는 x = 1이란 방정식을 보면 어떤 생각이 드는가?

이게 평면의 방정식이면 "아, 저거  x = 1이구나, 그러면 y랑 z는 아무거나 될 수 있으니 yz 평면에 평행한 평면이구나!"

라는 생각이 들지 않는가?

결국 소거를 한다는 것은 기존의 평면의 방정식이 가진 고유의 기울기를 바꾸는 행위다.

답을 이미 공개해버린 거 같지만 질문으로 돌아가서

Q. a1, a2, a3란 조건이 있을 때, b라는 해가 고유의 해가 될 수 있는 조건은 무엇인가?

(조금 더 정밀하게 말하면 non - singular matrix일 조건은 무엇인가?)

첫 질문은 그냥 앞에서 공개했으니 생략하고,

두번째 질문은 결국 세 벡터가 한 평면에 위치하면 안된다.

 

이상 2강을 마친다. :)