선형대수학 4강 - Permutation matrix, LDU, RREF, Gauss - Jordan Elimination.

1. Permatation matrix

혹시 저번 시간에 보았던 이 그림을 기억하는가? 

이전에도 설명했지만 이 Tij란 행렬을 행렬의 왼쪽에 곱해주면 i행과 j행을 바꿔준 행렬이 튀어나온다.

 

우리가 이 행렬을 왜 사용하냐? 

누군가 그렇게 물을 수 있다.

간단하다.

"우리가 의도적으로 행렬을 돌리고 싶을 때가 있기 때문이다."

 

"굳이..?"

라는 물음이 떠오를 것이다. 

조금 더 봐보자.

 

자 여기 우리가 REF꼴로 만들고 싶은 행렬 A가 있다.

근데 우리가 여기다가 아무리 Elementary matrix를 곱해도 REF는 만들 수 없다.

그렇다면 이 함수만 특별해서 그런거 아니냐고?

아니다. NxN 행렬은 많은 경우 그냥은 REF가 되기 힘들다. 

따라서 우리가 의도적으로 행을 돌려줘야 한다.

 

Permation matrix를 통해서 말이다 ( 위에선 Tij라고 그림에 나와있긴 하지만 보통 Pij라고 더 많이 사용한다.)

 

이렇게 말이다.

그럼 어떤 질문 하나가 떠오른다.

"모든 NxN 행렬은 LU-decomposition 이 가능해?"

그래서 누군가 당신에게 이런 질문을 던져준다면 여러분들은 당당하게 

"No."라고 대답해주면 된다. 위처럼 permuation matirx를 적용하지 않는다면 

A는 평생 REF가 될 일이 없기 때문이다.

우리는 여기서 정리를 하나 배워볼까 한다.

PA = LU란건 언제나 가능하다. 

사실 당연한게 PA = A'이라고 해보자.

P는 사실 어디 붙여도 되니까 이제 A' = LU가 되기만 하면 되는것 아니겠나?

뭐.. 말장난 같긴 하지만 의외로 신기한 정리기도 하다.

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2. LDU decompositon

LU를 배웠으면 LDU도 배워보자.

LDU는 우리가 LU분해 가능한 행렬이 있다고 할때, 

L - lower triangular matrix

D - diagnal matrix 

U - upper triangular matrix 이다.

쉽게 말하면, 우리가 L,U의 대각선들을 모두 1로 만들고, D란 대각선을 제외한 나머지는 0이란 원소로 채워진 행렬을 가운데 집어넣는 것이다.

 

여기서 D의 원소들을 우리는 Pivot 이라고 배운다.

이제 Pivot이란 단어를 지긋지긋하게 들을테니, 지금 이게 뭘까 고민하지 말고 그냥 받아드리면 좋겠다.

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3. RREF ( Reduced Row Echelon Form )

RREF 가 뭐냐고? RREF의 조건은 3가지다.

1) 0이 아닌 원소를 갖는 행에 맨 처음 나오는 원소가 1일것.

2) pivot이 있는 열들은 증가하는 모양으로 배열되어 있다.

3. 0으로만 채워진 행렬은 Pivot이 있는 행들의 아래쪽에 존재해야 한다.

마치 이 그림과 같다.

그냥 배우면 어려우니 우리 예시들 보면서 해보자.

자 여기 [ A I ] 라는 행렬이 있다고 가정하자.

(여기서 [ A I ] 는 A란 3x3 행렬과 I란 identity matrix를 붙여놓은 Argmented matrix)

음.. 계산이 사실 이게 맞는지는 잘 모르겠다.

혹시 틀렸다면 누군가 말해주면 감사하겠다 ㅎㅎ ;

어쨌든 우리는 Permuation Matrix를 사용해 REF를 만들었고, 

그 상태에서 다시 Pivot을 1로 만들면서 RREF를 만들었다.

그리고 맨 마지막에서 노란 글씨로 [ I B ] 라고 쓰여진게 보이는가?

이게 무엇인지 안다면 당신은 천재일지도 모른다.

사실 방금 본 예시는 RREF를 만드는 예시기도 했지만, Gauss - Jordan elimination이기 때문이다.

 

Gauss - Jordan elimination이 뭐냐고?

우리가 A란 NxN, non-singualr matrix가 있다고 가정하자.

[ Id B ] 란 행렬을 우리가 구하면 그 행렬은 [ A Id ] 란 행렬의 RREF이고, 

B는 A의 inverse matrix이다.

즉 A의 inverse matrix를 구하는 방법이란 말을 거창하게 써놓은거 뿐이다.

 

자 오늘의 이야기는 여기까지다. :)